Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $I$ là trung điểm của $A{B}^{\prime }$. Chứng minh $C^{\prime }I\parallel (AC{D}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm của $B^{\prime }C$.

Vì $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành (do $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$) nên hai đường chéo $B^{\prime }C$ và $B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường; do đó $N$ cũng là trung điểm của $B{C}^{\prime }$.

1) Trong tam giác $A{B}^{\prime }C$: $I$ là trung điểm của $A{B}^{\prime }$, $N$ là trung điểm của $B^{\prime }C$, nên $IN$ là đường trung bình, suy ra
$$IN\parallel AC.$$
Mà $AC\subset (AC{D}^{\prime })$ nên $IN\parallel (AC{D}^{\prime })$.

2) Ta có $B{C}^{\prime }=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}$ và $A{D}^{\prime }=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}$. Vì $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, $BC\parallel AD$ (tính chất hình hộp) nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$.
Vì $N$ là trung điểm của $B{C}^{\prime }$ nên
$$C^{\prime }N\parallel A{D}^{\prime }.$$
Mà $A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ nên $C^{\prime }N\parallel (AC{D}^{\prime })$.

3) Hai đường thẳng $IN$ và $C^{\prime }N$ cắt nhau tại $N$ và cùng song song với mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$, do đó mặt phẳng $(IN{C}^{\prime })$ song song với $(AC{D}^{\prime })$.

Vì $C^{\prime }I\subset (IN{C}^{\prime })$ nên $C^{\prime }I\parallel (AC{D}^{\prime })$.

(Kiểm tra bằng vectơ: $\overrightarrow{C^{\prime }I}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B^{\prime }})-\overrightarrow{C^{\prime }}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }})$, tức $\overrightarrow{C^{\prime }I}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của $(AC{D}^{\prime })$, khẳng định lại kết luận.)