Cho hình hộp đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}^{\prime }$. Khoảng cách từ $D^{\prime }$ đến mặt phẳng $(MBC)$ bằng

Chọn D.
+) Mặt phẳng $(MBC)$ chứa $BC$, mà $AD\parallel BC$ nên giao tuyến của $(MBC)$ với mặt $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$.
Gọi giao điểm của đường thẳng này với $D{D}^{\prime }$ là $N$, ta có $MN\parallel AD$.
Gọi $I=A{D}^{\prime }\cap MN$, vì $MN$ đi qua trung điểm $M$ của $A{A}^{\prime }$ và $MN\parallel A{D}^{\prime }$ nên $I$ là trung điểm của $A{D}^{\prime }$.
Suy ra $d(D^{\prime },(MBC))=d(A,(MBC))$.
+) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thoi có các cạnh bằng $2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, suy ra tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$.
Kẻ $AK\perp BC$ tại $K$, ta có $AK=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Vì hình hộp đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp BC$, mà $AK\perp BC$ nên $BC\perp (MAK)\Rightarrow (MBC)\perp (MAK)$.
Kẻ $AH\perp MK$ tại $H$, suy ra $AH\perp (MBC)\Rightarrow d(A,(MBC))=AH$.
+) Tam giác $MAK$ vuông tại $A$ với $AM=\frac{A{A}^{\prime }}{2}=a$, $AK=a\sqrt{3}$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy khoảng cách từ $D^{\prime }$ đến $(MBC)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.