Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết cosin góc giữa hai mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ và khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Gọi cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều là $x$, chiều cao là $h$. Dựa vào góc giữa hai mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và khoảng cách từ $C$ đến $(AB{C}^{\prime })$ bằng $a$, thiết lập hệ phương trình xác định được $x=2a$ và $h=a\sqrt{6}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{\Delta ABC}\cdot h=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{6}=a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{6}=\frac{3a^3\sqrt{2}}{2}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.