Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt nhau theo giao tuyến $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $H$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, trong tam giác đều $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh $2a$ có $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }H=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Vì lăng trụ đều nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, theo định lí ba đường vuông góc $AH\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$. Góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{AH{A}^{\prime }}$: $\tan \theta =\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }H}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\theta =30^{\circ }$. (Kiểm tra: $\sin \theta =\frac{a}{AH}=\frac{a}{\sqrt{a^2+3a^2}}=\frac{1}{2}$.)