Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi. Biết $AC=2,A{A}^{\prime }=\sqrt{3}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Gọi $O^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp A{A}^{\prime }$, suy ra $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chính là góc giữa hai đường thẳng $O^{\prime }A$ và $O^{\prime }C$. Ta có $O^{\prime }A=O^{\prime }C=\sqrt{O^{\prime }{A}^{\prime 2}+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2=AC$, nên tam giác $O^{\prime }AC$ đều, suy ra $\widehat{A{O}^{\prime }C}=60^{\circ }$.