Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }C$ và $BD$ bằng

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có $BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)\Rightarrow BD\perp A^{\prime }C$. Kẻ $OH\perp A^{\prime }C$ tại $H$, suy ra $OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $A^{\prime }C$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$ có $AC=a\sqrt{2},A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$, $O$ là trung điểm $AC$, tính được $OH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Chọn D.