Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ (tham khảo hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A^{\prime }=(0;0;0)$, $B^{\prime }=(2;0;0)$, $C^{\prime }=(0;2;0)$, $A=(0;0;h)$, $B=(2;0;h)$, $C=(0;2;h)$, $M=(1;0;h)$.

a) Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, đường thẳng $A^{\prime }M$ cắt đường thẳng $B{B}^{\prime }$ (tại điểm nằm trên tia $B{B}^{\prime }$ ngoài đoạn $B{B}^{\prime }$). Vì $B{B}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $A^{\prime }M$ cắt mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, do đó $A^{\prime }M$ không song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. → Sai.

b) Hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{A}^{\prime })=(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime })=(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ đều chứa điểm $B$ và $B^{\prime }$, nên giao tuyến là $B{B}^{\prime }$. → Đúng.

c) Phép chiếu song song theo phương $A{A}^{\prime }$ biến $A\mapsto A^{\prime }$, $B\mapsto B^{\prime }$ nên biến trung điểm $M$ của $AB$ thành trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$. → Đúng.

d) $N=(0;1;h)$, $P$ trên $A^{\prime }{B}^{\prime }$ với $P{A}^{\prime }=2P{B}^{\prime }$ nên $P=(4/3;0;0)$. Mặt phẳng $(MNP)$ qua $M(1;0;h)$, $N(0;1;h)$, $P(4/3;0;0)$ có phương trình: $hx+hy+\frac{z}{3}=\frac{4h}{3}$. Điểm $Q$ trên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có dạng $(0;t;0)$, thay vào: $ht=\frac{4h}{3}\Rightarrow t=\frac{4}{3}$. Vậy $Q{A}^{\prime }=\frac{4}{3}$, $Q{C}^{\prime }=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$, tức $Q{C}^{\prime }=\frac{1}{2}Q{A}^{\prime }\ne 2Q{A}^{\prime }$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $A^{\prime }M$ cắt đường thẳng $B{B}^{\prime }$ tại một điểm nằm trên đường thẳng $B{B}^{\prime }$ (ngoài đoạn $B{B}^{\prime }$). Vì đường thẳng $B{B}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $A^{\prime }M$ cắt mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không song song với mặt phẳng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(A{B}^{\prime }{A}^{\prime })=(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime })=(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ đều chứa $B$, $B^{\prime }$ nên giao tuyến là $B{B}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song phương $A{A}^{\prime }$ biến $A\to A^{\prime }$, $B\to B^{\prime }$, giữ trung điểm, nên ảnh của $M$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A^{\prime }=(0;0;0),B^{\prime }=(2;0;0),C^{\prime }=(0;2;0),h$ chiều cao: $M=(1;0;h),N=(0;1;h),P=(4/3;0;0)$. Mặt phẳng $(MNP)$: $hx+hy+z/3=4h/3$. Điểm $Q=(0;t;0)$ trên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ cho $t=4/3$, nên $Q{A}^{\prime }=4/3$, $Q{C}^{\prime }=2/3$, tức $Q{C}^{\prime }=\frac{1}{2}Q{A}^{\prime }\ne 2Q{A}^{\prime }$.