Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }(0;0;a\sqrt{2})$, $M\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$.
a) Theo quy tắc tam giác, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; vì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ và $-\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{A^{\prime }M}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{4};-a\sqrt{2}\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, tích vô hướng $=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{8}=\frac{5a^2}{8}\ne \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Sai.
d) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{2}\right)$, tích vô hướng $=\frac{3a^2}{2}$; $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{B{C}^{\prime }}|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+2a^2}=a\sqrt{3}$; $\cos =\frac{3a^2/2}{3a^2}=\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$. Đúng.
Kết quả Đ-Đ-S-Đ trùng bảng đáp án mã đề 1202 (DDSD) ở trang 9, không có xung đột.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc tam giác: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; vì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ và $-\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên đẳng thức đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{8}=\frac{5a^2}{8}\ne \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{2}\right)$, tích vô hướng $=\frac{3a^2}{2}$, hai vectơ cùng độ dài $a\sqrt{3}$, $\cos =\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$. Đúng.