Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $BC$. Mặt phẳng $(DMN)$ chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi $V_1$ là thể tích của phần chứa đỉnh $A$ và $V_2$ là thể tích của phần còn lại. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tại $D(0;0;0)$:
$D(0;0;0),A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;0),D^{\prime }(0;0;1),A^{\prime }(1;0;1),B^{\prime }(1;1;1),C^{\prime }(0;1;1)$.
- $M$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }⟹M(1;1/2;1)$.
- $N$ là trung điểm $BC⟹N(1/2;1;0)$.
Phương trình mặt phẳng $(DMN)$ đi qua gốc $D(0;0;0)$ có VTPT:
$\vec{n}=[\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DN}]=(4;-2;-3)⟹(DMN):4x-2y-3z=0$.
Thiết diện của $(DMN)$ với hình lập phương cắt các cạnh tại:
- $D(0;0;0)$ trên $CD$,
- $N(1/2;1;0)$ trên $BC$,
- $Q(1;1;2/3)$ trên $B{B}^{\prime }$,
- $M(1;1/2;1)$ trên $A^{\prime }{B}^{\prime }$,
- $P(3/4;0;1)$ trên $A^{\prime }{D}^{\prime }$.
Đường thẳng $MN$ kéo dài cắt $B{B}^{\prime }$ tại $Q$ và cắt $A{A}^{\prime }$ tại điểm $E(1;0;4/3)$.
Áp dụng phương pháp phân chia thể tích khối đa diện, ta tính được:
$V_1=\frac{55}{144}$ và $V_2=1-V_1=\frac{89}{144}$.
Suy ra tỉ số thể tích là $\frac{V_1}{V_2}=\frac{55}{89}$. Chọn B.