Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh $2a$, đặt tọa độ $A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),A^{\prime }(0,0,2a)$.
a) $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại giao điểm $O$ của $AC$ và $BD$; $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{BD}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$ → đúng.
b) Hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song, khoảng cách giữa chúng bằng $BC=2a\ne a$ → sai.
c) $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (A^{\prime }BC)$. Khoảng cách giữa $AD$ và $A^{\prime }C$ bằng $d(A,(A^{\prime }BC))$. Tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $B$ với $A^{\prime }B=BC=2a$, $A^{\prime }C=2a\sqrt{2}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$. Khoảng cách $=\frac{2S}{A^{\prime }C}=\frac{4a^2}{2a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$ → đúng. (Kiểm tra tọa độ: $\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(1,1,-1)$, pháp tuyến $\vec{n}=(0,1,1)$, $d=\frac{|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.)
d) $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $CD\parallel AB$ nên khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $CD$ bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $A{A}^{\prime }$ và $CD$, bằng $AD=2a\ne 2a\sqrt{2}$ → sai.
So sánh với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 3: Đ S Đ S): khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $O$, $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{BD}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $BC=2a$, không phải $a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel (A^{\prime }BC)$; khoảng cách giữa $AD$ và $A^{\prime }C$ bằng $d(A,(A^{\prime }BC))=\frac{2S_{A^{\prime }BC}}{A^{\prime }C}=\frac{4a^2}{2a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, $CD\parallel AB$ nên khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $CD$ bằng $AD=2a$, không phải $2a\sqrt{2}$.