Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $O^{\prime }$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $B$ cách mặt trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ một khoảng bằng cạnh $B{B}^{\prime }=a$. b) Sai: $BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, góc giữa $BD$ và mặt phẳng bằng $90^{\circ }$ chứ không phải $60^{\circ }$. c) Sai: $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{a^2}{2}$, khoảng cách từ $B$ đến $(A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng $a$ nên $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$; mặt khác $B{O}^{\prime }=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ nên $\frac{1}{6}B{O}^{\prime }{a}^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}\ne \frac{a^3}{6}$. d) Đúng: đặt hệ tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a)$; $BD$ có VTCP $(a,-a,0)$, $A^{\prime }C$ có VTCP $(a,a,-a)$, VTCP chung $\vec{n}=(1,1,2)$; lấy $B(a,0,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a,0,-a)$, khoảng cách $=\frac{|\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|a-a|}{\sqrt{6}}$... tính lại với điểm $B(a,0,0)$ trên $BD$ và điểm $C(a,a,0)$ trên $A^{\prime }C$: $\overrightarrow{BC}=(0,a,0)$, $d=\frac{|0+a+0|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$. Khớp bảng đáp án mã đề 1101: 1a D, 1b S, 1c S, 1d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng $B{B}^{\prime }=a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$; góc bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$, còn $\frac{1}{6}B{O}^{\prime }{a}^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}\ne \frac{a^3}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ, VTCP chung của $BD$ và $A^{\prime }C$ là $\vec{n}=(1,1,2)$; $d(BD,A^{\prime }C)=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.