Một chiếc ô tô di chuyển trên đoạn đường cong có hình dạng được mô hình hoá là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2+2$ theo hướng hoành độ tăng dần. Một biển báo giao thông được đặt tại vị trí P(0;3) trên bản đồ. Biết rằng luồng sáng đèn pha của ô tô luôn chiếu thành một tia sáng hướng thẳng về phía trước theo phương tiếp tuyến của quỹ đạo xe. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-6x$. b) Đúng: $y^{\prime }(2)=12-12=0$. c) Sai: với $x=0$ thì $y=2\ne 3$, nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị. d) Sai: xe tại điểm $(a;f(a))$ với $f(a)=a^3-3a^2+2$, tiếp tuyến có phương trình $y=(3a^2-6a)(x-a)+a^3-3a^2+2$. Tia sáng hướng theo hoành độ tăng dần nên chỉ chiếu tới $P(0;3)$ khi $a<0$ và $P$ nằm trên tiếp tuyến: thay $x=0$ được $-2a^3+3a^2+2=3\iff 2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$, cho $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Vì tia chiếu về phía hoành độ tăng dần, chỉ $a=-\frac{1}{2}<0$ thỏa (tại $a=1$, điểm $P$ nằm phía sau xe). Vậy chỉ có đúng 1 thời điểm, mệnh đề 'đúng 2 thời điểm' là sai. Khớp bảng đáp án mã đề 1101: 2a=D, 2b=D, 2c=S, 2d=S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$ đúng theo quy tắc đạo hàm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=2\ne 3$ nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $(a;a^3-3a^2+2)$ qua $P(0;3)$ khi $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)=0$, tức $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Do tia sáng hướng theo hoành độ tăng dần, chỉ $a=-\frac{1}{2}$ hợp lệ, nên chỉ có 1 thời điểm chứ không phải 2.