Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $B^{\prime }{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }B$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $MN$ và tạo với mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ một góc $\alpha$ sao cho $\tan \alpha =\sqrt{2}$. Biết $(P)$ cắt các cạnh $D{D}^{\prime }$ và $DC$. Khi đó mặt phẳng $(P)$ chia khối lập phương thành hai phần, gọi thể tích phần chứa điểm $A$ là $V_1$ và phần còn lại có thể tích $V_2$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ là

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là $a$. Gắn hệ trục tọa độ hoặc dùng tính chất đối xứng:
Do $\tan \alpha =\sqrt{2}$, mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh đối diện tại các trung điểm tương ứng tạo thành thiết diện đi qua tâm của khối lập phương.
Khi một mặt phẳng đi qua tâm đối xứng của khối lập phương, nó chia khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích hoàn toàn bằng nhau.
Do đó $V_1=V_2=\frac{1}{2}V$, suy ra tỉ số $\frac{V_1}{V_2}=1$.

Chọn đáp án A.