Cho hình nón có chiều cao $6a$. Một mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm của đáy là $3a$, thiết diện thu được là một tam giác vuông cân. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

Chọn D.
Gọi $S$ là đỉnh hình nón, $O$ là tâm đáy. Mặt phẳng $(P)$ cắt đáy theo dây cung $DE$, thiết diện là tam giác $SDE$ vuông cân tại $S$.
Gọi $G$ là trung điểm của $DE⟹OG\perp DE$ và $SG\perp DE$.
Kẻ $OH\perp SG$ tại $H⟹OH\perp (P)⟹OH=3a$.
Tam giác $SOG$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$:
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{G}^2}⟺\frac{1}{(3a{)}^2}=\frac{1}{(6a{)}^2}+\frac{1}{O{G}^2}⟺\frac{1}{O{G}^2}=\frac{1}{9a^2}-\frac{1}{36a^2}=\frac{3}{36a^2}=\frac{1}{12a^2}⟹OG=2a\sqrt{3}$.
Khi đó $SG=\sqrt{S{O}^2+O{G}^2}=\sqrt{36a^2+12a^2}=\sqrt{48a^2}=4a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta SDE$ vuông cân tại $S$ và $G$ là trung điểm cạnh huyền $DE$ nên:
$DE=2SG=8a\sqrt{3}⟹GE=\frac{DE}{2}=4a\sqrt{3}$.
Bán kính đáy hình nón là $R=OE=\sqrt{O{G}^2+G{E}^2}=\sqrt{12a^2+48a^2}=\sqrt{60a^2}=2a\sqrt{15}$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (60a^2)(6a)=120\pi a^3$.