Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao $SO$, $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ $O$ đến $(SAB)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{SAO}=30^{\circ }$, $\widehat{SAB}=60^{\circ }$. Độ dài đường sinh của hình nón theo $a$ bằng

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và có $\widehat{SAB}=60^{\circ }$ nên tam giác $SAB$ đều cạnh bằng $l$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, ta có $SM=\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Từ $\widehat{SAO}=30^{\circ }$ trong tam giác vuông $SOA$, ta có $SO=l\sin 30^{\circ }=\frac{l}{2}$ và $OA=l\cos 30^{\circ }=\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Kẻ $OH\perp SM$ tại $H$, thì $d(O,(SAB))=OH=\frac{SO\cdot OM}{SM}$. Tính toán cho ta $l=a\sqrt{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.