Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng $4$, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên dưới

(AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh I(2;2) và đi qua O: $y=a(x-2{)}^2+2$, với $x=0$ thì $4a+2=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$, nên $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$ → b đúng. Cung tròn là phần tư đường tròn $x^2+y^2=16$ phía trên: $y=\sqrt{16-x^2},0\le x\le 4$ → d đúng. Diện tích $(H)$: $S={\int }_0^4\left(\sqrt{16-x^2}-\left(-\frac{1}{2}{x}^2+2x\right)\right)dx=4\pi +{\left[\frac{x^3}{6}-x^2\right]}_0^4=4\pi -\frac{16}{3}=4\left(\pi -\frac{4}{3}\right)\approx 7,23$, khác $16(\pi -\frac{1}{3})\approx 44,9$ → a sai. Thể tích quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^4\left(16-x^2-{\left(-\frac{1}{2}{x}^2+2x\right)}^2\right)dx=\pi {\int }_0^4\left(16-5x^2+2x^3-\frac{x^4}{4}\right)dx=\pi \left(64+128-\frac{320}{3}-\frac{256}{5}\right)=\frac{512}{15}\pi$ → c đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế là $4\pi -\frac{16}{3}=4(\pi -\frac{4}{3})\approx 7,23$, không bằng $16(\pi -\frac{1}{3})$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=a(x-2{)}^2+2$, qua $O$ suy ra $a=-\frac{1}{2}$: $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^4(16-5x^2+2x^3-\frac{x^4}{4})dx=\frac{512}{15}\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phần tư cung tròn tâm O bán kính 4 nằm trong góc phần tư thứ nhất: $y=\sqrt{16-x^2},0\le x\le 4$.