Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=0,x=4$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

c) Đúng. Công thức tính diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_0^4\sqrt{x}dx$.
b) Sai. $S={\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^4=\frac{16}{3}\ne \frac{19}{6}$.
d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^4{\left(\sqrt{x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$.
a) Đúng. Vì $V=8\pi$ nên $V_1=\frac{V}{2}=4\pi$.

Tam giác $MOH$ quay quanh trục $Ox$ tạo nên hai khối nón chung đáy. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$, suy ra bán kính đáy $r=MN=y_M=\sqrt{a}$. Khi đó $V_1=\frac{1}{3}\cdot OH\cdot \pi r^2=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \pi {\left(\sqrt{a}\right)}^2=\frac{4\pi a}{3}$. Suy ra $\frac{4\pi a}{3}=4\pi \Rightarrow a=3$.