Cho hình thang $ABCD$ với hai đáy là $AB$ và $CD$. Biết rằng nếu $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ thì $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AD}|$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(b;0)$, $D(d;h)$, $C(c;h)$ với $h>0$ (vì $AB\parallel CD$). Ta có $|\overrightarrow{AC}{|}^2=c^2+h^2$, $|\overrightarrow{BD}{|}^2=(d-b{)}^2+h^2$, $|\overrightarrow{AD}{|}^2=d^2+h^2$, $|\overrightarrow{BC}{|}^2=(c-b{)}^2+h^2$.

a) Đề bài cho $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, tức hai đường chéo bằng nhau → đúng.

b) Từ $c^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2$ suy ra $c^2=(d-b{)}^2$, tức $c=\pm (d-b)$. Nếu $c=d-b$ thì $|BC{|}^2=(d-2b{)}^2+h^2=|AD{|}^2=d^2+h^2$ chỉ khi $d=b$, khi đó $D$ có hoành độ bằng $B$, hình thang suy biến (loại). Vậy $c=b-d$, khi đó $|AD{|}^2=d^2+h^2=|BC{|}^2=(c-b{)}^2+h^2=d^2+h^2$. Hai cạnh bên bằng nhau nên hình thang cân → đúng.

c) Vì hình thang cân nên $|AD|=|BC|$, khẳng định 'không bằng nhau' → sai.

d) Ngược lại, nếu $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AD}|$ thì $(c-b{)}^2=d^2$, tức $c=b\pm d$. Trường hợp $c=b+d$ thì $|CD|=|c-d|=b=|AB|$, tứ giác là hình bình hành, không phải hình thang (hai đáy phải khác nhau). Vậy $c=b-d$, suy ra $|AC{|}^2=(b-d{)}^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2=|BD{|}^2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết bài toán cho trực tiếp $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, tức hai đường chéo $AC$ và $BD$ có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;0),B(b;0),D(d;h),C(c;h)$, điều kiện $|AC|=|BD|$ cho $c^2=(d-b{)}^2$. Trường hợp $c=d-b$ dẫn đến hình thang suy biến, nên $c=b-d$, suy ra $|AD{|}^2=d^2+h^2=|BC{|}^2$. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ b), hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ có độ dài bằng nhau, không phải 'không bằng nhau'.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $|BC|=|AD|$ thì $(c-b{)}^2=d^2$. Trường hợp $c=b+d$ cho $|CD|=|AB|$ (hình bình hành, không phải hình thang), nên $c=b-d$, do đó $|AC{|}^2=(b-d{)}^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2=|BD{|}^2$.