Cho hình thang cân $ABCD$ có $CD=2AB=2a$, $(a>0)$, $\widehat{DAB}=120^0$, $AH\perp CD$, $H\in CD$. Tính $\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD=2AB=2a$ nên $AB=a$. Chọn hệ trục tọa độ $A(0;0)$, $B(a;0)$. Tia $AD$ tạo với $AB$ góc $120^{\circ }$, đặt $AD=d$ thì $D\left(-\frac{d}{2};\frac{d\sqrt{3}}{2}\right)$. Vì $AB\parallel CD$, $CD=2a$ nên $C=\left(2a-\frac{d}{2};\frac{d\sqrt{3}}{2}\right)$.

Hình thang cân nên $AD=BC$:
$${\left(a-\frac{d}{2}\right)}^2+\frac{3d^2}{4}=d^2\iff a^2-ad=0\iff d=a(d>0).$$
Vậy $AD=a$, $D\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

Đường thẳng $CD$ nằm ngang (tung độ $\frac{a\sqrt{3}}{2}$), $AH\perp CD$ nên $AH$ thẳng đứng, do đó $H\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$ và $\overrightarrow{AH}=\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $|AH|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{CD}=\left(-2a;0\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, nên
$$\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}=\left(-2a+2a;-2a\sqrt{3}\right)=\left(0;-2a\sqrt{3}\right).$$
Khi đó
$$\overrightarrow{AH}\cdot \left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)=0\cdot 0+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-2a\sqrt{3}\right)=-3a^2.$$

Kiểm tra lại: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ vì $AH\perp CD$; $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AD}=0\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2}{4}$. Về hình học, vectơ $\overrightarrow{AH}$ có phương thẳng đứng (góc định hướng $90^{\circ }$) còn $\overrightarrow{AD}$ có phương tạo với $AB$ góc $120^{\circ }$, nên góc giữa hai vectơ là $120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$; do đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AD}=|AH|\cdot |AD|\cos 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2}{4}$ (khớp với kết quả tọa độ). Vậy $\overrightarrow{AH}\cdot \left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)=0-4\cdot \frac{3a^2}{4}=-3a^2$.

Kết luận: $\overrightarrow{AH}\cdot \left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)=-3a^2$.