Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a}{2};0\right)$; $N$ đối xứng $C$ qua $D$ nên $N=2D-C=(-a;a)$.
a) Tam giác $MAD$ vuông tại $A$ nên $M{D}^2=A{D}^2+A{M}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}$. Đúng.
b) $M{N}^2={\left(-a-\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{9a^2}{4}+a^2=\frac{13a^2}{4}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Đúng.
c) $MD=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
d) $\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{12}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác MAD vuông tại A: MD² = AD² + AM² = a² + a²/4 = 5a²/4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với M(a/2;0), N(−a;a): MN² = 9a²/4 + a² = 13a²/4 nên MN = a√13/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
MD = a√5/2, không bằng a√3/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
|MN| = a√13/2, không bằng a√3/12.