Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $\sqrt{13}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, dựng $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}$. Hãy tính độ dài của vecto $\overrightarrow{MN}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(\sqrt{13};0)$, $D(0;\sqrt{13})$, $C(\sqrt{13};\sqrt{13})$. Trung điểm $M$ của $AB$ là $M\left(\frac{\sqrt{13}}{2};0\right)$. Vì $N$ đối xứng với $C$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $CN$: $\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{DC}$, suy ra $N=2D-C=(-\sqrt{13};\sqrt{13})$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{3\sqrt{13}}{2};\sqrt{13}\right)$, nên $MN=\sqrt{\frac{117}{4}+13}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}$. (Điểm $P$ với $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}$ không ảnh hưởng đến độ dài $\overrightarrow{MN}$.) Vậy $|\overrightarrow{MN}|=\frac{13}{2}=6,5$.