Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh $a$.
- A: $\widehat{AOB}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}.(-\overrightarrow{OA})=-O{A}^2$. Mặt khác $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$ nên $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}-O{A}^2=-2O{A}^2$, do đó $\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}=-O{A}^2=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$; còn $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-a^2\ne a^2$. Sai.
- D: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2$; $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$. Đúng.
Vậy mệnh đề sai là C.