Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $6$ cm, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và số đo của góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng $120^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu centimet khối?

Gọi $h=SA$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, kẻ $BM\perp SC$ ($M\in SC$). Do tính chất đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$, ta cũng có $DM\perp SC$ và $DM=BM$. Khi đó góc phẳng nhị diện $[B,SC,D]$ là góc $\widehat{BMD}=120^{\circ }$. Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $6$ nên $BD=6\sqrt{2}$. Trong tam giác cân $BMD$ có $\widehat{BMD}=120^{\circ }$, ta có $BM=\frac{BD}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}$. Lại có tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $BC=6$, đường cao $BM$, do đó $\frac{1}{B{M}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{S{B}^2}⟺\frac{1}{24}=\frac{1}{36}+\frac{1}{S{B}^2}⟹\frac{1}{S{B}^2}=\frac{1}{72}⟹S{B}^2=72$. Mặt khác tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{72-36}=6$ cm. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 6=72$ cm${}^3$.