Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ tạo với đáy một góc $30^{\circ }$ và tam giác $A^{\prime }BC$ có diện tích bằng $8a^2$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Hình chiếu vuông góc của tam giác $A^{\prime }BC$ lên mặt phẳng đáy $(ABC)$ chính là tam giác $ABC$. Áp dụng công thức hình chiếu: $S_{△ABC}=S_{△A^{\prime }BC}\cdot \cos 30^{\circ }=8a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}{a}^2$. Gọi cạnh tam giác đều là $x$, ta có $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{a}^2\Rightarrow x^2=16a^2\Rightarrow x=4a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $AM=\frac{4a\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$. Chiều cao $A^{\prime }A=AM\cdot \tan 30^{\circ }=2a\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2a$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{△ABC}\cdot A^{\prime }A=4\sqrt{3}{a}^2\cdot 2a=8\sqrt{3}{a}^3$. Chọn D.