Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ bằng

Chọn D.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$ tại $O$, suy ra $AO\perp BD$.
Lại có $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)⟹A{A}^{\prime }\perp BD$, do đó $BD\perp (A^{\prime }AO)⟹BD\perp A^{\prime }O$.
Tương tự, ta có $BD\perp C^{\prime }O$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ là góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }O$ và $C^{\prime }O$.
Tam giác $A^{\prime }AO$ vuông tại $A$ nên:
$A^{\prime }O=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{O}^2}=\sqrt{\frac{6a^2}{4}+\frac{2a^2}{4}}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$.
Tương tự $C^{\prime }O=a\sqrt{2}$.
Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }=AC=a\sqrt{2}$.
Tam giác $A^{\prime }O{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }O=C^{\prime }O=A^{\prime }{C}^{\prime }=a\sqrt{2}$ nên là tam giác đều, suy ra $\widehat{A^{\prime }O{C}^{\prime }}=60^{\circ }$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ bằng $60^{\circ }$.