Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đáy là tam giác vuông cân tại $B$, biết $AB=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.

a) Đúng. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\perp AC$. Lại có $AC\perp B{B}^{\prime }$ (do lăng trụ đứng) $\Rightarrow AC\perp (MB{B}^{\prime })$.
b) Sai. Kẻ $BH\perp B^{\prime }M$. Vì $AC\perp (MB{B}^{\prime })\Rightarrow AC\perp BH$. Suy ra $BH\perp (B^{\prime }AC)$, do đó $d(B,(B^{\prime }AC))=BH$. Xét tam giác vuông $B^{\prime }BM$, ta có:
$$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{B}^{\prime 2}}=\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}+\frac{1}{(a\sqrt{2}{)}^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{5}{2a^2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{10}}{5}.$$
c) Sai. Góc nhị diện tương ứng là $\widehat{ABC}$ (vì $AB\perp B{B}^{\prime }$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$). Do $△ABC$ vuông tại $B$ nên góc bằng 90°.
d) Đúng. Hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABC)$ là $AC$. Góc cần tìm là $\widehat{A^{\prime }CA}$. $△A^{\prime }AC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A^{\prime }A}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$.
a) Đúng. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\perp AC$. Lại có $AC\perp B{B}^{\prime }$ (do lăng trụ đứng) $\Rightarrow AC\perp (MB{B}^{\prime })$.
b) Sai. Kẻ $BH\perp B^{\prime }M$. Vì $AC\perp (MB{B}^{\prime })\Rightarrow AC\perp BH$. Suy ra $BH\perp (B^{\prime }AC)$, do đó $d(B,(B^{\prime }AC))=BH$. Xét tam giác vuông $B^{\prime }BM$, ta có:
$$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{B}^{\prime 2}}=\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}+\frac{1}{(a\sqrt{2}{)}^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{5}{2a^2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{10}}{5}.$$
c) Sai. Góc nhị diện tương ứng là $\widehat{ABC}$ (vì $AB\perp B{B}^{\prime }$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$). Do $△ABC$ vuông tại $B$ nên góc bằng 90°.
d) Đúng. Hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABC)$ là $AC$. Góc cần tìm là $\widehat{A^{\prime }CA}$. $△A^{\prime }AC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A^{\prime }A}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$.