Câu 18THPT#Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân#Cấp số nhân lùi vô hạn
Thuộc đề: Đề thi thử TN THPT 2026 môn Toán lần 3 liên trường THPT chuyên – Đà Nẵng (Mã đề 1016)Cho một hình tam giác đều cạnh (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.
Gọi là diện tích của hình ở bước thứ ( là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho một hình tam giác đều cạnh (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi là diện tích của hình ở bước thứ ( là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án chính thức: 1109
Hướng dẫn giải chi tiết
Diện tích tam giác đều ban đầu là: .
Tại bước thứ , từ cạnh ban đầu, mỗi cạnh mọc thêm tam giác đều nhỏ có cạnh bằng , diện tích bằng .
Tổng quát, ở bước thứ (), số tam giác đều mới mọc ra là , diện tích mỗi tam giác mới bằng .
Giới hạn diện tích hình Bông tuyết Koch là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
.
Thay : .
Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được .
Đáp số: 1109.
Tại bước thứ , từ cạnh ban đầu, mỗi cạnh mọc thêm tam giác đều nhỏ có cạnh bằng , diện tích bằng .
Tổng quát, ở bước thứ (), số tam giác đều mới mọc ra là , diện tích mỗi tam giác mới bằng .
Giới hạn diện tích hình Bông tuyết Koch là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
.
Thay : .
Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được .
Đáp số: 1109.