Cho phương trình $3^{x-3+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-9x^2+24x+m)\cdot 3^{x-3}=3^x+1$. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt là

Chia hai vế cho $3^{x-3}$, phương trình tương đương: $3^{\sqrt[3]{m-3x}}+(\sqrt[3]{m-3x}{)}^3=3^{3-x}+(3-x{)}^3$.
Do hàm số đặc trưng $f(t)=3^t+t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta suy ra $\sqrt[3]{m-3x}=3-x\iff m=-x^3+9x^2-24x+27$.
Xét hàm số $h(x)=-x^3+9x^2-24x+27$ có hai điểm cực trị tại $x=2$ ($h(2)=7$) và $x=4$ ($h(4)=11$).
Bảng biến thiên:Để có 3 nghiệm phân biệt thì $7<m<11$. Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{8,9,10\}$.
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là $8+9+10=27$.