Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z|=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|1+z|+2|1-z|$ bằng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P=1\cdot |1+z|+2\cdot |1-z|\le \sqrt{(1^2+2^2)(|1+z{|}^2+|1-z{|}^2)}$.
Theo công thức hình bình hành:
$|1+z{|}^2+|1-z{|}^2=2(|1{|}^2+|z{|}^2)=2(1+1)=4$.
Do đó $P\le \sqrt{5\cdot 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{|1+z|}{1}=\frac{|1-z|}{2}$, kết hợp với $|z|=1$ ta tìm được nghiệm $z=-\frac{3}{5}\pm \frac{4}{5}i$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $2\sqrt{5}$. Chọn C.