Cho tam giác $ABC$. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành $ABIJ,BCPQ,CARS$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$.

a) Theo quy tắc ba điểm, với mọi bộ ba điểm $R,A,J$ ta luôn có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$. Đúng.

b) Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$, còn $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$ nói chung. Sai.

c) Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$, còn $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$ nói chung. Sai.

d) Vì $ABIJ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{u}$, suy ra $\vec{J}=\vec{u}$, $\vec{I}=\vec{b}+\vec{u}$. Vì $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{v}$, suy ra $\vec{Q}=\vec{b}+\vec{v}$, $\vec{P}=\vec{c}+\vec{v}$. Vì $CARS$ là hình bình hành (theo thứ tự $C,A,R,S$) nên $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}$; đặt $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$ thì $\vec{S}=\vec{w}$ và $\vec{R}=\vec{w}-\vec{c}$. Khi đó:
$\overrightarrow{RJ}=\vec{J}-\vec{R}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{c}$; $\overrightarrow{IQ}=\vec{Q}-\vec{I}=\vec{v}-\vec{u}$; $\overrightarrow{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\vec{w}-\vec{c}-\vec{v}$.
Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{u}-\vec{w}+\vec{c})+(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{c}-\vec{v})=\vec{0}$. Đúng.

Kết luận: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm (điểm $A$ nằm giữa $R$ và $J$ trên đường đi), với mọi bộ ba điểm ta luôn có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$.
b) Sai. Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$. Mặt khác $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$ nói chung.
c) Sai. Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$. Mặt khác $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$ nói chung.
d) Đúng. Chọn gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $ABIJ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{u}$, suy ra $\vec{J}=\vec{u}$, $\vec{I}=\vec{b}+\vec{u}$. Vì $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{v}$, suy ra $\vec{Q}=\vec{b}+\vec{v}$, $\vec{P}=\vec{c}+\vec{v}$. Vì $CARS$ là hình bình hành (tứ giác $C,A,R,S$ theo thứ tự) nên $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}$; đặt $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$ thì $\vec{S}=\vec{w}$ và $\vec{R}=\vec{S}-\vec{c}=\vec{w}-\vec{c}$. Khi đó:
- $\overrightarrow{RJ}=\vec{J}-\vec{R}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{c}$;
- $\overrightarrow{IQ}=\vec{Q}-\vec{I}=\vec{v}-\vec{u}$;
- $\overrightarrow{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\vec{w}-\vec{c}-\vec{v}$.
Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{u}-\vec{w}+\vec{c})+(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{c}-\vec{v})=\vec{0}$.