Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$, $M$ là trung điểm của $HD$. Tính $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $H(0;0)$, $A(0;a)$, $B(-b;0)$, $C(b;0)$ (vì tam giác cân tại $A$ nên $AH\perp BC$ và $H$ là trung điểm $BC$). Đường thẳng $AC$ có vectơ chỉ phương $(b;-a)$. Gọi $D=A+t(b;-a)=(tb;a(1-t))$. Vì $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$ nên $\overrightarrow{HD}\cdot (b;-a)=0$: $$t{b}^2-a^2(1-t)=0\Rightarrow t(a^2+b^2)=a^2.$$ M là trung điểm $HD$ nên $M\left(\frac{tb}{2};\frac{a(1-t)}{2}\right)$. Khi đó: $$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{tb}{2};\frac{a(1-t)}{2}-a\right)=\left(\frac{tb}{2};-\frac{a(1+t)}{2}\right),$$ $$\overrightarrow{BD}=(tb+b;a(1-t))=(b(1+t);a(1-t)).$$ Suy ra: $$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{t{b}^2(1+t)}{2}-\frac{a^2(1+t)(1-t)}{2}=\frac{1+t}{2}[t{b}^2-a^2(1-t)]=\frac{1+t}{2}[t(a^2+b^2)-a^2]=0.$$ Kiểm tra bằng số cụ thể $a=3,b=4$: $t=\frac{9}{25}$, $D=\left(\frac{36}{25};\frac{48}{25}\right)$, $M=\left(\frac{18}{25};\frac{24}{25}\right)$, $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{18\cdot 136-51\cdot 48}{625}=0$. Vậy $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=0$, trùng với đáp số của nguồn.