Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $\frac{A+C}{2}=\frac{180^{\circ }-B}{2}=90^{\circ }-\frac{B}{2}$. Do đó $\cos \frac{A+C}{2}=\cos \left(90^{\circ }-\frac{B}{2}\right)=\sin \frac{B}{2}$ và $\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(90^{\circ }-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$ (các mẫu đều khác 0 vì $0^{\circ }<B<180^{\circ }$).

Hai số hạng đầu:
$$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{A+C}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{A+C}{2}}=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}={\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}=1.$$

Số hạng thứ ba: $\cos (A+C)=\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$, nên
$$-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}\cdot \tan B=-\frac{-\cos B}{\sin B}\cdot \frac{\sin B}{\cos B}=1.$$

Vậy biểu thức bằng $1+1=2$ (điều kiện $\sin B\ne 0$, $\cos B\ne 0$ thỏa với góc trong tam giác, trừ trường hợp biên). Đẳng thức được chứng minh.