Cho tam giác $ABC$ có $AB=9$, $AC=14$, $ABC=60^{\circ }$. Tính $BC$; $A$; $C$; $R$ và $S$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin tại đỉnh B với $AB=c=9$, $AC=b=14$, $\hat{B}=60^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$196=81+B{C}^2-9BC\Rightarrow B{C}^2-9BC-115=0$$
$$BC=\frac{9+\sqrt{541}}{2}\approx 16,13(nhận,gi\acute{a}trị\hat{a}mloại).$$

Tính góc $C$ bằng định lí sin:
$$\sin C=\frac{AB\sin B}{AC}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{14}=\frac{9\sqrt{3}}{28}\approx 0,5571\Rightarrow C\approx 33^{\circ }51^{\prime }\approx 33,85^{\circ }.$$

Vì $AC>AB$ nên $C$ là góc nhọn, vậy $C=\arcsin \frac{9\sqrt{3}}{28}\approx 33,85^{\circ }$.

$$A=180^{\circ }-B-C=120^{\circ }-C\approx 86,15^{\circ }.$$

Kiểm tra bằng cosin tại $A$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{27-\sqrt{541}}{56}\approx 0,0668\Rightarrow A\approx 86,17^{\circ }$ (khớp trong sai số làm tròn).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08.$$

Diện tích:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot \frac{9+\sqrt{541}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}\left(9+\sqrt{541}\right)}{8}\approx 62,89.$$

Kết luận: $BC=\frac{9+\sqrt{541}}{2}\approx 16,13$; $A\approx 86,15^{\circ }$; $C\approx 33,85^{\circ }$; $R=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08$; $S=\frac{9\sqrt{3}(9+\sqrt{541})}{8}\approx 62,89$.