Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba trung tuyến bằng $15,18,27$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các trung tuyến là m_a=15, m_b=18, m_c=27. Công thức trung tuyến: m_a²=(2b²+2c²−a²)/4, suy ra a²=(4/9)(2m_b²+2m_c²−m_a²). Tính: a²=(4/9)(648+1458−225)=(4/9)(1881)=836 ⇒ a=BC=2√209; b²=(4/9)(450+1458−324)=704; c²=(4/9)(450+648−729)=164.
a) Định lí cosin: BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos A (góc A đối diện cạnh BC), không phải cos B ⇒ sai.
b) BC=√836=2√209 ⇒ đúng.
c) cos A=(b²+c²−a²)/(2bc)=(704+164−836)/(2√704·√164)=32/(2√115456). Diện tích S=½bc·sin A=½√(b²c²−(b²+c²−a²)²/4)=½√(115456−256)=½√115200=½·240√2=120√2 ⇒ đúng.
d) I là trung điểm BC, H là trọng tâm nên H nằm trên trung tuyến AI (với AH=⅔AI). D đối xứng với H qua I nên D cũng nằm trên đường thẳng AI. Vậy A, H, D thẳng hàng, diện tích tam giác AHD bằng 0, không phải 60√2 ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin cho cạnh BC (đối diện góc A): BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos A, không phải cos B.
b) (AI giải đề cho tôi)
a²=(4/9)(2·18²+2·27²−15²)=(4/9)(1881)=836 ⇒ BC=√836=2√209.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với a²=836, b²=704, c²=164: S=½√(b²c²−((b²+c²−a²)/2)²)=½√(115456−256)=½√115200=120√2.
d) (AI giải đề cho tôi)
H thuộc trung tuyến AI nên D (đối xứng H qua I) cũng thuộc AI; A, H, D thẳng hàng nên diện tích tam giác AHD bằng 0, không phải 60√2.