Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$, tứ giác $AGCN$ có cặp cạnh $AN$ và $GC$ song song, bằng nhau nên là hình bình hành.

a) Sai. Các vectơ có điểm cuối là $G$ tạo từ 5 điểm $A,B,C,G,N$ là $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BG},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NG}$ — chỉ có 4 vectơ (không tính vectơ-không $\overrightarrow{GG}$).

b) Đúng. Vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$ nên $AN\parallel GC$ và $AN=GC$, do đó $AGCN$ là hình bình hành.

c) Đúng. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Hai đường chéo $AC$ và $GN$ của hình bình hành $AGCN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức tại $M$, nên $MG=MN$: $G$ và $N$ đối xứng qua $M$. (Kiểm tra: $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ vì $G$ là trọng tâm.)

d) Sai. $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GN}$, với $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{GN}=2\overrightarrow{GM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$, nên $\overrightarrow{BN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BM}$. Trung tuyến: $B{M}^2=\frac{2A{B}^2+2B{C}^2-A{C}^2}{4}=\frac{72+200-144}{4}=32\Rightarrow BM=4\sqrt{2}$. Vậy $BN=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ne 4\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vectơ có điểm cuối là $G$: $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BG},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NG}$ (không tính vectơ-không $\overrightarrow{GG}$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$ nên $AN\parallel GC$ và $AN=GC$, tứ giác $AGCN$ là hình bình hành.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $AGCN$ có hai đường chéo $AC$ và $GN$ cắt nhau tại trung điểm chung là $M$ (trung điểm $AC$), nên $MG=MN$, tức $G$ và $N$ đối xứng qua $M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BM}$ với $BM=4\sqrt{2}$ (trung tuyến: $B{M}^2=\frac{2\cdot 6^2+2\cdot 10^2-12^2}{4}=32$). Vậy $BN=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ne 4\sqrt{2}$.