Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$, $M$ là một điểm bất kỳ. Khẳng định nào dưới đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$. Khi đó $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=A{M}^2+\overrightarrow{MA}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=A{M}^2-\overrightarrow{AM}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, vì tam giác $ABC$ đều nên $AH\perp BC$ và $D$ đối xứng $A$ qua $BC$ cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=A{M}^2-\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AD}+\frac{a^2}{2}$, đáp án D.