Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $AB\cdot AC=12$ và $$\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Diện tích tam giác $BMG$ bằng ?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\frac{2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{2\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}=\tan \frac{B+C}{2}=\tan \left(90^{\circ }-\frac{A}{2}\right)=\cot \frac{A}{2}$. Theo giả thiết: $\cot \frac{A}{2}=\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$. Vì $\sin \frac{A}{2}\ne 0$, nhân hai vế với $\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$ ta được $\frac{1}{\sin \frac{A}{2}}=2\sin \frac{A}{2}$, suy ra ${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{A}{2}=45^{\circ }\Rightarrow A=90^{\circ }$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{12}{2}=6$. $G$ là trọng tâm nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $MG=\frac{1}{3}AM$, do đó khoảng cách từ $G$ đến $BC$ bằng $\frac{1}{3}$ đường cao từ $A$. Diện tích $S_{BMG}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot \frac{h}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot \frac{h}{3}=\frac{S}{6}=\frac{6}{6}=1$. Vậy đáp án B, khớp đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1011: B).