Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$. $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp làm gốc tọa độ, gọi $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ lần lượt là các vectơ vị trí của $A,B,C$. Khi đó $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$ và trực tâm $H$ có vectơ vị trí $\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$. Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $\vec{d}=-\vec{b}$.

Xét $\overrightarrow{HA}=\vec{a}-\vec{h}=\vec{a}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-(\vec{b}+\vec{c})$ và $\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}=-\vec{b}-\vec{c}=-(\vec{b}+\vec{c})$. Suy ra $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$.

Xét $\overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=-\vec{b}-\vec{a}=-(\vec{a}+\vec{b})$ và $\overrightarrow{HC}=\vec{c}-\vec{h}=\vec{c}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-(\vec{a}+\vec{b})$. Suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$.

Vậy $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$, đáp án đúng là C. Lưu ý $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ còn $\overrightarrow{OD}=\vec{d}=-\vec{b}$ nên $\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OD}$, do đó D sai; A sai vì $\overrightarrow{AD}=-(\vec{a}+\vec{b})\ne \overrightarrow{CH}=\vec{h}-\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$; B sai vì $\overrightarrow{DA}=\vec{a}+\vec{b}\ne \overrightarrow{HC}=-(\vec{a}+\vec{b})$.