Cho tam giác $ABC$ vuông tại A có $AB=a$, $\hat{C}=30^0$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $NC=2NA$, $K$ là giao điểm của $AM$ và $BN$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(a;0), C(0;a√3) (vì tam giác vuông tại A, góc C = 30° nên AC = a√3, BC = 2a). M(a/2; a√3/2), N(0; a√3/3).
a) Đúng: M là trung điểm BC nên vectơ AB + vectơ AC = 2 vectơ AM (tính chất trung điểm).
b) Đúng: |vectơ AB − vectơ AC| = |vectơ CB| = BC = 2a (cạnh huyền gấp đôi cạnh đối diện góc 30°).
c) Sai: K = AM ∩ BN. Đường AM: y = √3x. Đường BN: K = B + t(vectơ BN) = (a(1−t); t·a√3/3). Thay vào y = √3x: t·a√3/3 = √3·a(1−t) ⇒ t/3 = 1−t ⇒ t = 3/4. Vậy BK/BN = 3/4, tức a/b = 3/4 tối giản và a+b = 7 ≠ 5, mệnh đề sai.
d) Sai: vectơ BN = vectơ AN − vectơ AB = (1/3)vectơ AC − vectơ AB, không phải vectơ AB + (1/3)vectơ AC.
Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên vectơ AB + vectơ AC = 2 vectơ AM.
b) (AI giải đề cho tôi)
|vectơ AB − vectơ AC| = BC = 2a vì tam giác vuông tại A, góc C = 30° nên BC = 2·AB = 2a.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với A(0;0), B(a;0), C(0;a√3), N(0;a√3/3), M(a/2;a√3/2). Giao K của AM (y = √3x) và BN cho t = 3/4, nên BK/BN = 3/4, do đó a+b = 7 ≠ 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
vectơ BN = vectơ AN − vectơ AB = (1/3)vectơ AC − vectơ AB, không bằng vectơ AB + (1/3)vectơ AC.