Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, $I$ là trung điểm của $BC$, $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$. Vẽ đoạn thẳng $SD$ có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính góc $\phi$ (đơn vị: độ) giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ với $I$ là gốc: $B\left(-\frac{a}{2};0;0\right)$, $C\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $A\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$. Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $I$ nên $D\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, và $S\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$.

Véc tơ $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AS}=\left(0;-a\sqrt{3};\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Pháp tuyến của $(SAB)$: $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=\frac{a^2}{4}\left(-3\sqrt{2};\sqrt{6};2\sqrt{3}\right)$.

Pháp tuyến của $(SAC)$: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=\frac{a^2}{4}\left(-3\sqrt{2};-\sqrt{6};-2\sqrt{3}\right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=\frac{a^4}{16}\left(18-6-12\right)=0$, nên hai mặt phẳng vuông góc nhau, $\phi =90^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (90).