Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ và $H$ là trung điểm $BC$. Tính $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Do đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA})$. Tam giác đều cạnh $a$ có góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $120^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$; ngoài ra $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA}=-|\overrightarrow{AC}{|}^2=-a^2$. Vậy $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left(-\frac{a^2}{2}-a^2\right)=-\frac{3a^2}{4}$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho.