Cho tam giác $MNP$ có $MN=13$; $MP=10$; $\cos M=\frac{5}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M=169+100-2\cdot 13\cdot 10\cdot \frac{5}{13}=269-100=169$, nên $NP=13$. a) Đúng (đúng định lí cosin). b) Vì $MN=NP=13$ nên tam giác cân tại $N$, không cân tại $M$ → Sai. c) $\cos N=\frac{M{N}^2+N{P}^2-M{P}^2}{2\cdot MN\cdot NP}=\frac{169+169-100}{338}=\frac{238}{338}=\frac{119}{169}\ne \frac{238}{169}$ (mà $\cos N$ không thể vượt quá 1) → Sai. d) Tổng bình phương ba trung tuyến $=\frac{3}{4}(M{N}^2+M{P}^2+N{P}^2)=\frac{3}{4}(169+100+169)=\frac{3}{4}\cdot 438=\frac{657}{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lí cosin áp dụng cho góc M: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính $N{P}^2=169+100-100=169$ nên $NP=13=MN$. Hai cạnh bằng nhau là $MN$ và $NP$ gặp nhau tại đỉnh $N$, nên tam giác cân tại $N$, không cân tại $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos N=\frac{M{N}^2+N{P}^2-M{P}^2}{2\cdot MN\cdot NP}=\frac{238}{338}=\frac{119}{169}$. Giá trị $\frac{238}{169}>1$ không thể là cosin.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bình phương ba trung tuyến $=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3}{4}(169+100+169)=\frac{657}{2}$.