Cho tam thức bậc hai: $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$, $\Delta =b^2-4ac$. Ta có: $f(x)\le 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Để $f(x)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, parabol phải hướng xuống nên cần $a<0$ (loại A, B vì $a\le 0$ cho phép $a=0$, mâu thuẫn $a\ne 0$; loại D vì $\Delta \ge 0$ thì phương trình có nghiệm, tại nghiệm $f(x)=0$... thực ra $f\le 0$ cho phép $f=0$, nhưng $\Delta >0$ với $a<0$ thì $f>0$ ngoài khoảng hai nghiệm, nên cần $\Delta \le 0$). Vậy điều kiện là $a<0$ và $\Delta \le 0$ (khi $\Delta =0$, $f(x)\le 0$ với mọi $x$, dấu bằng tại đỉnh). Đáp án C.