Cho tập hợp $S=\{1;2;3;4;5;6\}$. Gọi $M$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $S$ sao cho tổng chữ số các hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm lớn hơn tổng chữ số các hàng còn lại là 3. Tính tổng $T$ của các phần tử của tập hợp $M$.

Tổng tất cả các chữ số trong tập $S$ là $1+2+3+4+5+6=21$.
Gọi số có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$.
Theo đề bài: $(a_4+a_5+a_6)-(a_1+a_2+a_3)=3$.
Lại có $(a_4+a_5+a_6)+(a_1+a_2+a_3)=21$.
Suy ra $a_4+a_5+a_6=12$ và $a_1+a_2+a_3=9$.
Các bộ ba chữ số có tổng bằng 9 lấy từ $S$ là: $\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$ (3 bộ).
Với mỗi bộ, có $3!=6$ cách xếp vào 3 vị trí đầu và $3!=6$ cách xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí cuối.
Do đó số phần tử của $M$ là $3\times 6\times 6=108$ số.
Do vai trò đối xứng giữa các chữ số trong từng nhóm, tính tổng các chữ số ở mỗi hàng và nhân với giá trị hàng, ta thu được tổng $T=36011952$.