Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng $AB=AC=a$, $AD=a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập: $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc, $AB=AC=a$, $AD=a\sqrt{3}$.

a) Vì $AC\perp AB$ và $AC\perp AD$ nên $AC\perp (ABD)$. → Đúng.

b) Vì $AC\perp (ABD)$ nên hình chiếu của $CD$ lên $(ABD)$ là $AD$. Góc giữa $CD$ và $(ABD)$ là góc $\widehat{CDA}$ trong tam giác $ACD$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{CDA}=\frac{AC}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên góc bằng $30^{\circ }$. → Đúng.

c) Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Vì $AB=AC$ nên $AH\perp BC$; vì $DB=DC=2a$ (do $D{B}^2=D{C}^2=a^2+3a^2=4a^2$) nên $DH\perp BC$. Suy ra góc nhị diện $[A,BC,D]$ là $\widehat{AHD}$. Ta có $AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $DH=\sqrt{D{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{7}{2}}$. Vậy $\cos \widehat{AHD}=\frac{AH}{DH}=\frac{1}{\sqrt{7}}$, nên $\widehat{AHD}\approx 67,79^{\circ }\ne 87,79^{\circ }$. → Sai (đề in $87,79^{\circ }$ là nhầm so với giá trị đúng $67,79^{\circ }$).

d) Vì $AC\perp AB$ và $AD\perp AB$ nên góc nhị diện $[C,AB,D]$ là $\widehat{CAD}=90^{\circ }$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp AB$ và $AC\perp AD$ nên $AC\perp (ABD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $CD$ lên $(ABD)$ là $AD$; $\tan \widehat{CDA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên góc bằng $30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ trung điểm $BC$: $AH\perp BC$, $DH\perp BC$; $\cos \widehat{AHD}=\frac{AH}{DH}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ nên góc $\approx 67,79^{\circ }$, không phải $87,79^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp AB$, $AD\perp AB$ nên $[C,AB,D]=\widehat{CAD}=90^{\circ }$.