Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC,ABD,ACD$ là các tam giác vuông tương ứng tại $A,B,C$. Góc giữa $AD$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$, $AD\perp BC$ và khoảng cách giữa $AD$ và $BC$ bằng $a$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Dựng hình chữ nhật $ABEC$ tâm $O$ trong mặt phẳng $(ABC)$. Vì $AB\perp BD$ và $AB\perp AC\parallel BE\Rightarrow (ABEC)\perp (DBE)$, tương tự $(ABEC)\perp (DCE)\Rightarrow DE\perp (ABEC)$.

Mặt khác $AD\perp BC\Rightarrow BC\perp (ADE)\Rightarrow BC\perp AE$, nên hình chữ nhật $ABEC$ là hình vuông.

Trong tam giác vuông $ADE$ tại $E$, kẻ $OH\perp AD$ tại $H\Rightarrow d(AD,BC)=OH=a$. Vì $\widehat{DAE}=(AD,(ABC))=45^{\circ }$ nên $△AOH$ vuông cân tại $H\Rightarrow OA=a\sqrt{2}\Rightarrow AE=DE=2a\sqrt{2}$ và cạnh hình vuông $AB=AC=2a$.

Vậy thể tích khối tứ diện là $V_{ABCD}=\frac{1}{3}DE\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot 2a\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}(2a{)}^2=\frac{4\sqrt{2}{a}^3}{3}$.