Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Ta có $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
- ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=-\infty \Rightarrow a<0$.
- Đồ thị đi qua $O(0;0)\Rightarrow f^{\prime }(0)=d=0$.
- $f^{\prime }(-1)=0\Rightarrow -4a+3b-2c+d=0$ và $f^{\prime }(1)>0\Rightarrow 4a+3b+2c+d>0$.
- Mặt khác, tổng $3$ nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ dương nên $-\frac{3b}{4a}>0\Rightarrow b>0$, và tại $x=2$ thì $f^{\prime }(2)>0$. Từ $f^{\prime }(-1)=0$ và $f^{\prime }(2)>0$ (hoặc cực trị của $f^{\prime }(x)$ có tích hai điểm cực trị âm $\Rightarrow 12ac<0\Rightarrow c>0$ và $2a+c>0\Rightarrow a+c>-a>0$). Vậy $a+c>0$.