Cho hàm số $f(x)=x^3-3x-m$. Tìm $m$ để mọi bộ ba số phân biệt $a,b,c$ thuộc đoạn $[-1;3]$ thì $f(a),f(b),f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Trên đoạn $[-1;3]$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Khi đó ${\min }_{[-1;3]}f(x)=f(1)=-2-m$ và ${\max }_{[-1;3]}f(x)=f(3)=18-m$.

Để mọi bộ ba số phân biệt $a,b,c\in [-1;3]$ có $f(a),f(b),f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác (với $a,b$ phân biệt nên $f(a)+f(b)>2(-2-m)$), điều kiện cần và đủ là:
$\{\begin{array}{l}-2-m>0\\ 2(-2-m)\ge 18-m\end{array}\iff m\le -22$.