Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=a,BD=3a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Biết $AC$ vuông góc với $BD$. Tính $MN$.

Gọi $P$ là trung điểm của $AB$.
Trong tam giác $ABD$, $MP$ là đường trung bình nên $MP\parallel BD$ và $MP=\frac{BD}{2}=\frac{3a}{2}$.
Trong tam giác $ABC$, $NP$ là đường trung bình nên $NP\parallel AC$ và $NP=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}$.
Do $AC\perp BD$ nên $MP\perp NP$.
Tam giác $MNP$ vuông tại $P$, suy ra:
$MN=\sqrt{M{P}^2+N{P}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9a^2+a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$.
Chọn đáp án D.