Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2DP$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{FA}{FD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $AC,BC$ nên $MN\parallel AB$, do đó $MN\parallel (ABD)$. Suy ra mặt phẳng $(MNP)$ cắt mặt phẳng $(ABD)$ theo giao tuyến qua $P$ và song song với $AB$. Gọi giao tuyến này cắt $AD$ tại $F$, khi đó $PF\parallel AB$ (vì $F\in AD\subset (ABD)$ và $(MNP)$ chứa giao tuyến qua $P$ song song $AB$). Trong tam giác $ABD$ có $PF\parallel AB$ với $BP=2DP$ tức $DP=\frac{1}{3}DB$, nên theo định lý Thales: $\frac{DF}{DA}=\frac{DP}{DB}=\frac{1}{3}$. Suy ra $FA=\frac{2}{3}DA$, $FD=\frac{1}{3}DA$, do đó $\frac{FA}{FD}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 18, mã đề 111: 2).